Produit scalaire et coordonnées

Propriété

Dans un repère orthonormé \((\text O,\text I,\text J)\) , on considère les vecteurs  \(\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)  et  \(\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) .
Leur produit scalaire est donné par \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'\) .

Démonstration

On utilise l'expression du produit scalaire avec les normes pour obtenir le résultat cherché.

\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)\)

\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\Big[(x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2)\Big]\)

\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2)\)
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(2xx'+2yy')=xx'+yy'\)

Exemple

On veut calculer le produit scalaire \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}\) connaissant les coordonnées des points \(\text A,\text B,\text C\) dans le repère orthonormé \((\text O,\text I,\text J)\) : \(\text A(2;2), \text B(3;0),\text C(-1;1)\) .

On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs   \(\vec{\text A\text B}\) et  \(\vec{\text A\text C}\) dans ce repère. On a  \(\vec{\text A\text B} \begin{pmatrix} 3-2 \\ 0-2 \end{pmatrix}\) soit  \(\vec{\text A\text B} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) . De façon analogue, on obtient  \(\vec{\text A\text C} \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\) . En utilisant la formule du produit scalaire par les coordonnées des vecteurs, on a   \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=1\times(-3)+(-2)\times(-1)=-1\) .